CHƯƠNG 9: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG MẶT PHẲNG

BÀI 1: TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ

1. Tọa độ của vectơ với một hệ trục tọa đ

2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vec
3. Áp dụng của tọa độ vectơ

KHỞI ĐỘNG

1. Toạ độ của vectơ đối với một hệ trục toạ độ
Hãy nêu nhận xét về độ lớn, phương và chiều của vectơ trên
trục Ox và vectơ trên trục Oy (hình 1).

Vectơ i có: +) độ dài bằng 1;
+) phương: nằm ngang
+) chiều: cùng chiều với chiều dương trục hoành


Vectơ j có: +) độ dài bằng 1

+) phương: thẳng đứng
+) chiều: cùng chiều với chiều dương trục tung

1. Tọa độ của vectơ với một hệ trục tọa độ
Trục tọa độ
Điểm
gốc

Vectơ
đơn vị

O


e

Trục toạ độ (gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định
một điểm 0 (gọi là điểm gốc) và một vectơ e có độ dài bằng 1 gọi là
vectơ đơn vị của trục.
Kí hiệu: .

1. Tọa độ của vectơ với một hệ trục tọa độ
Hệ trục tọa độ

Trục
tung

y

Hệ trục toạ độ (O; ) gồm hai trục (O; ) và
(O; ) vuông góc với nhau.
• Điểm O gọi là gốc toạ độ.


j

• Trục (O; ) là trục hoành; kí hiệu: Ox
• Trục (O; ) là trục tung; kí hiệu: Oy.
• và là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy.
Hệ trục tọa độ (O; ) ký hiệu là Oxy.

Gốc
tọa độ

O

Trục
hoành


i

Chú ý: Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục toạ độ Oxy
được gọi là mặt phẳng toạ độ Oxy, hay gọi tắt là mặt phẳng Oxy.

x

1. Toạ độ của vectơ đối với một hệ trục toạ độ
Tọa độ của một vectơ

Trong mặt phằng Oxy, cho một vectơ
tuỳ ý. Vẽ = và gọi A1, A2 lần lượt là
hình chiếu vuông góc của A lên Ox
và Oy (Hình 4). Đặt 1 = x 2 = y. Biểu
diễn vectơ theo hai vectơ và .

        
a OA OA1  OA2  xi  y j

1. Toạ độ của vectơ đối với một hệ trục toạ độ
Tọa độ của một vectơ

Trong mặt phằng Oxy, cặp số (x; y) trong biểu diễn = x + y
được gọi là toạ độ của vectơ
Kí hiệu =(x; y), x gọi là hoành độ, y gọi là tung độ của vectơ .
Chú ý:
=(x; y)  = x + y.
Nếu cho =(x; y) và = (; ) thì = 

1. Toạ độ của vectơ đối với một hệ trục toạ độ
Tọa độ của một điểm

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M.
Xác định toạ độ của vectơ .

   


OM OA OA1  OA2  xi  y j

 OM  x; y 

1. Toạ độ của vectơ đối với một hệ trục toạ độ
Tọa độ của một điểm
Trong mặt phẳng toạ độ, cho một điểm M tuỳ ý. Toạ độ
của vectơ được gọi là toạ độ của điểm M.
Nhận xét:
•

Nếu = (x; y) thì cặp số (x; y) là toạ độ của điểm M

•

Kí hiệu: M(x; y), x gọi là hoành độ, y gọi là tung độ của
điểm M.

•

M(x; y)  = x + y.

Chú ý: Hoành độ của điểm M còn được kí hiệu là xM, tung độ của điểm M
còn được kí hiệu là yM. Khi đó ta viết M(xM; yM ).

1. Toạ độ của vectơ đối với một hệ trục toạ độ
Tọa độ của một điểm

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm D(-1; 4), E(0; -3), F(5; 0).
a) Vẽ các điểm D, E, F trên mặt phẳng Oxy.
b) Tìm toạ độ của các vectơ , .
c) Vẽ và tìm toạ độ hai vectơ đơn vị và lần lượt trên hai trục toạ độ Ox và Oy.

Giải

a)




b) OD ( 1;4), OE (0;  3), OF (5; 0)
c)



i (1;0), j (0;1)

2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ , và số thực k.
a)Biểu diễn từng vectơ: , , theo hai vectơ theo , .
b)Tìm theo tọa độ hai vectơ theo và .

TL: a)Ta có: , .

2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ , và số thực k.
a)Biểu diễn từng vectơ: , , theo hai vectơ theo , .
b)Tìm theo tọa độ hai vectơ theo và .

TL: b)Ta có: , .

Do , , vì và vuông góc.
Suy ra :

2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ , và số thực k.

⃗
⃗ . 𝑏=𝑎
𝑎
1 . 𝑏1 + 𝑎2 . 𝑏2

2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Ví dụ 2: Cho hai vectơ , .
a)Tìm tọa độ của các vectơ , , , .
b)Tính các tích vô hướng , .



Giải: a) m  n ( 6  0;1  2) (  6;3)
 
m  n ( 6  0;1  2) ( 6;  1)

10m (10.(  6);10.1) (  60;10)

 4n (( 4).0;( 4).2) (0;  8)

2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Ví dụ 2:

Cho hai vectơ , .

a)Tìm tọa độ của các vectơ , , , .
b)Tính các tích vô hướng , .
Giải: b)

 
m.n ( 6).0  1.2 2


10m .  4n (  60).0  10.(  8)  80

  

3. Áp dụng của tọa độ vectơ
Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng



Ta có: OA  x A ; y A , OB  xB ; yB  . Khi đó:
  
AB OB  OA

 xB ; yB    x A ; y A  .
 xB  xA ; yB  y A 

Cho hai điểm A(xA; yA),
B(xB;yB). Từ biểu thức
= – , tìm toạ độ vectơ theo
toạ độ hai điểm A, B.

3. Áp dụng của tọa độ vectơ
Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng

Trong Oxy, cho A  x A ; y A  và B  xB ; yB  khi đó ta có:



AB  xB  x A ; yB  y A 

3. Áp dụng của tọa độ vectơ
Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng

Ví dụ 5: Cho M 1; 2  , N  3; 4  , P 5; 0  .
  
Tìm tọa độ các vectơ MN , PM , NP .
Giải:





MN  4; 2 , PM  4; 2 , NP 8;  4 

3. Áp dụng của tọa độ vectơ
Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có toạ độ ba đỉnh là A(xA;
yA), B(xB; yB), C(xC; yC). Gọi M(xM; yM) là trung điểm của đoạn
thẳng AB, G(xG; yG) là trọng tâm của tam giác ABC.
a) Biểu thị vectơ theo hai vectơ và .
b) Biểu thị vectơ theo ba vectơ , và .
c) Từ các kết quả trên, tìm toạ độ điểm M và G theo toạ độ của các
điểm A, B, C.

3. Áp dụng của tọa độ vectơ
Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác
Giải:

 1 
1
a) OM  OA  OB
2
2

 1  1
1
b) OG  OA  OB  OC



3
3
3 



 1 
1
1
1
1
1
c) OM  OA  OB 
xAi  y A j 
x B i  y B j  x A  x B i   y A  y B  j
2
2
2
2
2
2
 x  xB y A  y B 
 M A
;



2
2







 1  1
1
1
1
1
OG  OA  OB  OC  x A i  y A j 
xB i  y B j 
xC i  y C j
3
3
3
3
3
3
 1

1
  x A  xB  xC i   y A  y B  yC  j
3
3







 x  xB  xC y A  y B  yC 
 G A
;

3
3

















3. Áp dụng của tọa độ vectơ
Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

Cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là A  xA ; y A , B  xB ; yB , C  xC ; yC  .
x A  xB
y A  yB
Tọa độ trung điểm M  xM ; yM  của đoạn thẳng AB là xM 
.
; yM 
2
2
xA  xB  xC
y A  y B  yC
Tọa độ trọng tâm G  xG ; yG  của tam giác ABC là xG 
.
; yM 
3
3

3. Áp dụng của tọa độ vectơ
Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác
Ví dụ 4: Cho tam giác MNP có tọa độ các đỉnh là M 2; 2  , N 6;3 , P 5;5  .
a)Tìm tọa độ trung điểm E của đoạn MN.
b)Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác MNP.
Giải:

 5
a) E  4;  ;
 2
 13 10 
b) G  ;  .
 3 3

3. Áp dụng của tọa độ vectơ
Ứng dụng biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Cho hai vectơ = (a1; a2), = (b1; b2) và hai điểm A(xA; yA), B(xB; yB). Ta có:
  a1b1 + a2b2=0 ;
 và cùng phương  a1b1 - a2b2=0;
 = ;
 AB = ;
 ,)= =

(, khác ).

3. Áp dụng của tọa độ vectơ
Ứng dụng biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Ví dụ 5: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là A 1;1 , B 5; 2  ,

C 4; 4 
a) Tìm tọa độ điểm H là chân đường cao của tam giác ABC kẻ từ A.
b) Giải tam giác ABC.
23

14

5

5

a) Hቀ ;

ቁ;

Giải:

b) AB =ξ 17, BC = ξ 5 , AC = 3ξ 2 ;
𝐴መ≈ 30o57', 𝐵෠ ≈ 77o28' , 𝐶መ= 71o35'.